数值分析原理
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内容提要：
本书系统地介绍了现代科学与工程计算中常用的数值计算方法及有关的理论和应用。全书共分9章，包括误差分析，函数插值，函数逼近，数值积分与数值微分、线性方程组的直接解法和迭代解法，非线性方程的数值解法，矩阵特征值与特征向量的计算，以及常微分方程初值问题的数值解法等。本书基本概念清晰准确，理论分析科学严谨，语言叙述通俗易懂，结构编排由浅入深，注重启发性。本书始终贯穿一个基本理念，即在数学理论上等价的方法在
目录：
第一章 绪 论
1. 1 数值分析的对象与任务 1. 2 误差基础知识 1. 2. 1 误差来源 1. 2. 2 误差度量 1. 2. 3 初值误差传播 1. 3 舍入误差分析及数值稳定性 1. 3. 1 浮点数系及其运算的舍入误差 1. 3. 2 算法的数值稳定性 习题1 第二章 函数插值 2. 1 插值问题 2. 2 插值多项式的构造方法 2. 2. 1 拉格朗日插值法 2. 2. 2 牛顿插值法 2. 2. 3 等距节点插值公式 2. 2. 4 带导数的插值问题 2. 3 分段插值法 2. 3. 1 高次插值的评述 2. 3. 2 分段插值 2. 3. 3 三次样条插值 2. 3. 4 B样条插值 习题2 第三章 函数逼近 3. 1 赋范线性空间与函数逼近问题 3. 1. 1 赋范线性空间 3. 1. 2 函数逼近问题 3. 2 内积空间与正交多项式 3. 2. 1 内积空间 3. 2. 2 正交多项式的性质 3. 2. 3 常用的正交多项式系 3. 3 最佳平方逼近与广义Fourier级数 3. 3. 1 最佳平方逼近问题的求解 3. 3. 2 基于正交函数基的最佳平方逼近 3. 3. 3 广义Fourier级数 3. 4 曲线拟合的最小二乘方法 3. 4. 1 曲线拟合模型及其求解 3. 4. 2 关于离散Gram矩阵的进一步讨论 3. 4. 3 用关于点集的正交函数系作最小二乘曲线拟合 3. 5 最佳一致逼近多项式 3. 5. 1 魏尔斯特拉斯定理 3. 5. 2 最佳一致逼近多项式的存在惟一性 3. 5. 3 最佳一致逼近多项式求法的讨论 习题3 第四章 数值积分与数值微分 4. 1 数值积分概述 4. 1. 1 求积公式的代数精确度 4. 1. 2 收敛性与稳定性 4. 2 牛顿—柯特斯公式 4. 2. 1 插值型求积公式 4. 2. 2 牛顿—柯特斯公式 4. 2. 3 复化求积公式 4. 2. 4 截断误差 4. 2. 5 区间逐次分半求积法 4. 3 龙贝格求积算法 4. 4 高斯型求积公式 4. 4. 1 一般理论 4. 4. 2 高斯—勒让德求积公式 4. 4. 3 高斯—切比雪夫求积公式 4. 4. 4 高斯—拉盖尔求积公式 4. 4. 5 高斯—埃尔米特求积公式 4. 5 奇异积分与振荡函数积分的计算 4. 5. 1 无界函数积分的计算 4. 5. 2 无穷区间积分的计算 4. 5. 3 振荡函数积分的计算 4. 6 二重积分的计算 4. 6. 1 基本方法 4. 6. 2 复化求积公式 4. 6. 3 高斯型求积公式 4. 7 数值微分 4. 7. 1 插值法 4. 7. 2 泰勒展开法 习题4 第五章 解线性代数方程组的直接法 5. 1 高斯消去法 5. 1. 1 高斯顺序消去法 5. 1. 2 高斯主元消去法 5. 2 矩阵三角分解法 5. 2. 1 直接三角分解法 5. 2. 2 列主元直接三角分解法 5. 2. 3 平方根法 5. 2. 4 三对角和块三对角方程组的追赶法 5. 3 矩阵的条件数和方程组的性态 5. 3. 1 向量和矩阵范数 5. 3. 2 扰动方程组解的误差界 5. 3. 3 矩阵的条件数和方程组的性态 5. 3. 4 关于病态方程组的求解 习题5 第六章 解线性代数方程组的迭代法 6. 1 向量和矩阵序列的极限 6. 1. 1 极限概念 6. 1. 2 序列收敛的等价条件 6. 2 迭代法的基本理论 6. 2. 1 简单迭代法的构造 6. 2. 2 简单迭代法的收敛性和收敛速度 6. 2. 3 高斯—赛德尔迭代法及其收敛性 6. 3 几种常用的迭代法 6. 3. 1 雅可比迭代法 6. 3. 2 与雅可比法相应的高斯—赛德尔迭代法 6. 3. 3 逐次超松弛 SOR 迭代法 6. 4 最速下降法与共轭梯度法 6. 4. 1 最速下降法 6. 4. 2 共轭梯度法 习题6 第七章 非线性方程求根 7. 1 二分法 7. 2 迭代法的算法和理论 7. 2. 1 不动点迭代法 7. 2. 2 不动点迭代法的一般理论 7. 2. 3 局部收敛性, 收敛阶 7. 3 迭代的加速收敛方法 7. 3. 1 使用两个迭代值的组合方法 7. 3. 2 使用三个迭代值的组合方法 7. 4 牛顿迭代法 7. 4. 1 标准牛顿迭代法及其收敛阶 7. 4. 2 重根情形的牛顿迭代法 7. 4. 3 牛顿下山法 7. 5 弦割法和抛物线法 7. 5. 1 弦割法及其收敛性 7. 5. 2 抛物线法 7. 6 非线性方程组的迭代解法简介 7. 6. 1 一般概念 7. 6. 2 不动点迭代法 7. 6. 3 牛顿迭代法 习题7 第八章 矩阵特征值与特征向量计算 8. 1 乘幂法与反幂法 8. 1. 1 乘幂法 8. 1. 2乘幂法的加速技术 8. 1. 3 反幂法 8. 2 雅可比方法 8. 2. 1 古典雅可比方法 8. 2. 2 雅可比过关法 8. 3 QR方法 8. 3. 1 反射矩阵与平面旋转矩阵 8. 3. 2 矩阵的QR分解 8. 3. 3 豪斯霍尔德方法 8. 3. 4 QR方法的收敛性 8. 3. 5 带原点平移的QR方法 8. 4 求实对称三对角阵特征值的二分法 8. 4. 1 矩阵A的特征多项式序列及其性质 8. 4. 2 特征值的计算 习题8 第九章 常微分方程初值问题的数值解法 9. 1 引言 9. 2 欧拉方法 9. 2. 1显式欧拉方法 9. 2. 2 隐式欧拉方法和欧拉方法的改进 9. 2. 3 单步法的局部截断误差和阶 9. 3 龙格—库塔方法 9. 3. 1 泰勒方法 9. 3. 2 龙格—库塔方法 9. 3. 3 龙格—库塔方法的其他问题 9. 4 单步法的进一步讨论 9. 4. 1 收敛性 9. 4. 2 相容性 9. 4. 3 稳定性 9. 5 线性多步方法 9. 5. 1 线性多步方法的一般问题 9. 5. 2 线性多步方法的构造 9. 5. 3 预估—校正方法 9. 6 线性多步法的进一步讨论 9. 6. 1 线性多步法的相容性 9. 6. 2 线性多步法的收敛性 9. 6. 3 线性多步法的稳定性 9. 6. 4 预估—校正法的稳定性 9. 7 一阶方程组与刚性问题简介 9. 7. 1 一阶方程组 9. 7. 2 刚性问题简介 习题9 参考文献 附录 关于线性常系数差分方程的几点知识 参考答案 |