非线性问题的数学方法及其应用

本书介绍几种能用于处理非线性问题的数学方法。这些方法既适用于常微分方程又适用于偏微分方程；既适用于线性方程又适用于非线性方程。内容包括：用于解析求解的Lie变换群方法；用于近似解析解的主项平衡法和摄动法；用于解的定性分析的几何方法。最后还对目前非线性科学研究的热门领域孤立子、混沌和分形作了简要的通俗的介绍。 本书内容新颖．密切联系工程技术实际，突出方法的掌握与应用，叙述深入浅出，通俗易懂，凡具备工科本科数学基础的读者阅读本书不会有大的困难。 本书可作为理、工科各专业高年级本科生、硕士生或博士生选修课的教材或教学参考书．对于从事非线性问题研究的工程技术人员亦有很好的参考价值。

第一章 Lie变换群和相似解
1．1 单参数变换群
1．变换群的无穷小形式．经典坐标
2．不变曲线，不变函数，Lie级数
练习1. 1
1．2 一阶方程
1．线性方程
练习1．2
2．变换群与积分因子
练习1．3
1．3 一阶PDE的不变性
练习1. 4
1．4 二阶及高阶方程
1．二阶方程
2．平面点变换的延拓(扩充，Extended)
练习1．5
3．微分不变量与方程的降阶
1．5 应用举例
练习1．6

几年前，我给研究生开了一门选修课"微分方程的相似解"。在与研究生的交谈中发现他们有些苦恼。他们感到：在以前的学习中，在数学知识和技能上很少有系统的提高，尤其是与实际应用直接有关的数学方法更是心中无底，往往一涉及到具体问题，就只能查找有关的文献，参考、模仿别人的做法，在数学方法上很少有自己的能动性和思路。他们感叹：这样的状况对于较低层次的研究尚可对付，但要做出有一定理论深度和水平的科研成果，则是远远不及的。另外，不少研究生反映：在实际的科研工作中碰到很多微分方程的定解问题。由于大学本科的数学基础仅限于微积分、线性代数、常微分方程等，而工程数学部分又学得比较简单，..

改革开放以来，我国高等教育事业，特别是硕士、博士生的培养取得了长足的进步。研究生教育的发展首先体现在数量上。目前，一些重点理、工科大学每年招收的硕士生、博士生已达两千人左右的水平，新的博士点、硕士点不断建立起来。在数量发展的同时，如何提高研究生的培养质量，使他们具有数学、物理、计算机等方面的扎实功底，能灵活应用所学知识，创造性地开展研究工作，就成为一个必须研究和解决的问题。另一方面，科学技术的迅速发展，使得非线性问题的数学处理越来越显得重要。在材料、能源、生物、信息各领域中，科学研究的前沿往往与非线性有密不可分的关系。而工科本科的数学基础，包括微积分、线性代数等很..