微分几何讲义

本书是在作者一系列演讲的讲稿基础上整理而成的，已成为整体微分几何方面的一本经典著作。它以拓扑、代数几何为基础，以分析为主要工具，论述了几何学中的某些线性和非线性问题。本书内容包括：比较定理与梯度估计、负曲率流形上的调和函数、Reimann流形上的特征值问题、ReImann流形上的热核、纯量曲率的共形形变、局部共形平坦流形等。书中还包括了丘成桐教授撰写的几何中的非线性分析、几何中未解决的问题、几何学未来的发展、几何与分析回顾、复几何的历史及前景等综合性论述与演讲辞，宏观和精辟地描述了几何学中的重要问题，展示了该学科的历史和未来发展前景。
本书可供高等院校数学系高年级学生、研究生作教学用书，也可供现代几何和分析方面的教师及研究人员参考。

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第一章 比较定理与梯度估计
1．1 比较定理
1．2 分裂定理
1．3 梯度估计
1．4 具非负Ricci曲率的完备Riemann流形
第二章 负曲率流形上的调和函数
2．1 几何边界S(∞)及Dirichlet问题的可解性
2．2 Harnack不等式与Poisson核
2．3 Martin边界与Martin积分表示
2．4 Harnack不等式的证明
2．5 更一般流形上的调和函数
2．6 次调和函数与次中值公式
附录 整体Green函数的存在性
第三章 特征值问题
3．1 特征值的基本性质
3．2 Riemann流形的热核
3．3 第一特征值上界估计
3．4 第一特征值下界估计
3．5 高阶特征值的估计

本书主要部分源于钟家庆兄的笔记，当时我和孙理察每周两讲，由于孩子都还在襁褓中，准备工作有一定的困难，但是作者二人兴致勃勃，在准备这些讲座时还发展了一些新的定理。以后到了圣地亚哥，我有十五个博士生在课上听讲，很遗憾的是没有学生留有完整的讲稿。以后张恭庆和丁伟岳重整这部分讲稿时， 已不能将当时作者二人的讲辞全部还原，这是很可惜的。事隔二十年，作者二人已无从追忆当年创作的细节。 所幸国内学者包括当时做笔记的几位学者和我们的学生，确也在这本书上得到一些好处，宛然成一流派，称为几何分析。遗憾的是书中有一部分精要的地方未受到重视，尤其是李伟光和我发展的在抛物方程的不等式..

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