近世代数初步/高等学校教材

本书的核心部分是前三章．(1)引论章．把引言列为一章是为了强调它的重要性．§1中讲清代数的研究对象是代数运算系统，为什么要把一些对象组织成运算系统，运算起什么作用．这个思想要贯穿全教材的各部分内容中．学生们从各个内容(数学本身的及应用的内容)中弄清和体会了这个思想，在学完近世代数后就不会只剩下群、环、域这几个名词，肯定比纯粹学习抽象系统要留下更多的东西．(2)第一章群论．以系统的对称性为例引入群的概念，以群在集合上的作用为主线讲述群的各项性质(例如用轨道的概念引出陪集和共轭类，并得出Lagrange定理)和应用(一类组合计算)，并联系高等代数中的矩阵变换和几何学中Klein的Erlangen纲领．(3)第二章域与环．以域扩张为主线讲述域的概念与一般单纯扩域的构造，用扩域的概念和性质论证了古希腊三大几何作图难题的不可能性．环的概念围绕域扩张展开，讲剩余类域(用以构造有限域或添加多项式的一个根的单扩域)，讲整环的分式域．

序言
引论章
1 本课程的研究对象
2 域、环、群的定义与简单性质
第一章 群
1 群的例子
2 对称性变换与对称性群，晶体对称性定律
3 子群，同构，同态
4 群在集合上的作用，定义与例子
5 群作用的轨道与不变量，集合上的等价关系
6 陪集，Lagrange定理，稳定化子，轨道长
7 循环群与交换群
8 正规子群和商群
9 n元交错群An，An，n≥5，的单性
10 同态基本定理
11 轨道数的定理及其在计数问题中的应用第二章 域和环
1 域的例子，复数域及二元域的构造，对纠一个错的码的应用
2 域的扩张，扩张次数，单扩张的构造
3 古希腊三大几何作图难题的否定

历来大学数学系近世代数教材主要介绍群、环、域等对象．书的体系纯粹是介绍数学的逻辑体系，学生不接触背景来源、数学意义及应用情况．多数学生学完后又没有后续课程来运用这些知识，结果只剩下一些抽象名词，无法用，无处用．不少学生将基本内容都忘记了． 另一方面由于近代物理、计算机及信息技术的发展，代数基础课中过去没有的一些知识正在受到重视．例如群论对结晶学和某些组合计算、有限域对编码和密码技术、群表示论对理论物理等的应用等．但现有的主要近世代数教材几十年来基本内容未变． 再有，现有教材中许多内容的讲法也可以改变，使之更宜于教学． 编者感到以上问题是近世代数..