简明微分几何

    本书在假定读者不具备拓扑学知识的前提下，介绍了微分几何的主要内容，书中主要讲解空间中的曲线论和曲面论、二维黎曼流形、微分流形、微分形式、Lie导数、张量理论、协变导数和曲率张量，力图将古典的微分几何和现代微分几何结合在一起讲给理工科的学生，书中给出了很多例子，试图利用这些例子使学生很好地了解几何概念的含义！书中也给出了一些新的内容，比如，椭球面上的测地线、KdV方程的推导、图形极小曲面的极小性等，以此来强调经典内容和当代热点数学问题之间的关系，同时，书中安排一定数量的习题，供读者练习。
本书可供理工科一年级以上的大学生、研究生以及对数学有兴趣的学者阅读。

第1部分 经典微分几何
第一章 曲线论
1.1 平面曲线
1.2 Frenet公式的应用
1.3 空间曲线
1.4 空间曲线实例
第二章 空间中的曲面
2.1 空间曲面的概念
2.2 曲面上的曲线
2.3 椭球面上的测地线
2.4 曲面的曲率
2.5 实例计算
2.6 曲面上形状算子
2.7 外微分形式
2.8 活动标架法
2.9 曲面基本方程的求解
2.10 外微分的进一步应用
2.11 极小曲面
第三章 二维黎曼几何
3.1 黎曼度量与结构方程
3.2 矢量场与其协变导数
3.3 测地线
3.4 散度和梯度算子
3.5 Gauss-Bonnet公式
第2部分 现代几何
第四章 微分流形和外微分流形
4.1 微分流形
4.2 Rn中开集上的外微分形式
4.3 流形上的微分形式和向量场
4.4 Lie导数
第五章 张量和黎曼几何
5.1 张量及其代数运算
5.2 张量的Lie导数
5.3 对称和反对称张量，张量微分
5.4 协变导数和黎曼曲率
5.5 欧氏空间的子流形
5.6 常曲率空间
5.7 流形上的积分简介
附录
参考文献
索引

本书是这十年来我为数学、自然科学和工程科学二、三年级大学生讲授微分几何课的结晶．我力图在一个学期内(时间大约60学时)把经典微分几何(即曲线和曲面论)与现代微分几何统一起来而做一个简明的介绍．书中很多内容可能是在以前的大学生用的微分几何书中没有出现过的．比如，椭球面上的测地线、KdV方程的推导、图形极小曲面的极小性等．书中强调了经典内容和目前热点数学问题之间的关系，强调几何概念并给出了很多例子．本书假定读者没有学过拓扑学，而没有拓扑学基础，理解流形的概念是个难点，所以书中给出了流形概念的比较直观的公理化定义．可以说，公理化逻辑思维在本书中起了很重要的作用．书中..